우리는 함수의 최소값 또는 최대값을 식별해야 하는 많은 실제 상황에서 최적화 문제에 직면합니다.
함수를 시스템의 수학적 표현으로 간주하고 최소값 또는 최대값을 결정하는 것은 기계 학습, 엔지니어링, 재무 등과 같은 다양한 응용 프로그램에 중요할 수 있습니다.
언덕과 계곡이 있는 풍경을 생각해 보십시오. 우리의 목표는 가능한 한 빨리 목적지에 도달하기 위해 가장 낮은 지점(최소)을 찾는 것입니다.
이러한 최적화 문제를 해결하기 위해 경사 하강법 알고리즘을 자주 사용합니다. 이러한 알고리즘은 가장 가파른 내리막(음의 기울기) 방향으로 단계를 수행하여 함수를 최소화하는 반복 최적화 방법입니다.
그래디언트는 함수가 가장 가파르게 증가하는 방향을 반영하고 반대 방향으로 이동하면 최소값이 됩니다.
경사 하강 알고리즘이 정확히 무엇입니까?
경사 하강법은 함수의 최소값(또는 최대값)을 결정하기 위한 널리 사용되는 반복 최적화 접근 방식입니다.
다음을 포함한 여러 분야에서 중요한 도구입니다. 기계 학습, 딥 러닝, 인공 지능, 엔지니어링 및 금융.
알고리즘의 기본 원리는 함수 값의 가장 급격한 증가 방향을 표시하는 그래디언트 사용을 기반으로 합니다.
알고리즘은 그래디언트와 반대 방향으로 반복적으로 단계를 수행하고 수렴될 때까지 솔루션을 반복적으로 정제하여 최소값을 향해 함수의 풍경을 효율적으로 탐색합니다.
경사 하강 알고리즘을 사용하는 이유는 무엇입니까?
우선, 고차원 공간과 복잡한 함수가 포함된 다양한 최적화 문제를 해결하는 데 사용할 수 있습니다.
둘째, 특히 분석 솔루션을 사용할 수 없거나 계산 비용이 많이 드는 경우 최적의 솔루션을 신속하게 찾을 수 있습니다.
경사하강법 기술은 확장성이 뛰어나며 막대한 데이터 세트를 성공적으로 처리할 수 있습니다.
결과적으로, 그들은 널리 사용됩니다 기계 학습 알고리즘 데이터에서 학습하고 매개변수를 수정하여 예측 실수를 최소화하도록 신경망을 훈련시키는 것과 같은 것입니다.
경사 하강 단계의 자세한 예
그래디언트 디센트 기법을 더 잘 이해하기 위해 더 자세한 예를 살펴보겠습니다.
(2)에서 최소값을 갖는 기본 포물선 곡선을 생성하는 2D 함수 f(x) = x0,0를 고려하십시오. 경사 하강 알고리즘은 이 최소점을 결정하는 데 사용됩니다.
1단계: 초기화
경사하강법 알고리즘은 x0으로 표시되는 변수 x의 값을 초기화하는 것으로 시작합니다.
초기 값은 알고리즘의 성능에 상당한 영향을 미칠 수 있습니다.
무작위 초기화 또는 문제에 대한 사전 지식을 사용하는 것이 두 가지 일반적인 기술입니다. 사례 시작 시 x₀ = 3이라고 가정합니다.
2단계: 기울기 계산
현재 위치 x₀에서 함수 f(x)의 기울기. 그런 다음 계산해야 합니다.
기울기는 특정 위치에서 함수의 기울기 또는 변화율을 나타냅니다.
f'(x) = 2x를 제공하는 함수 f(x) = x2에 대해 x에 관한 도함수를 계산합니다. 그래디언트 계산에 x₀ = 0을 대입하여 x2에서 그래디언트를 3 * 6 = 3으로 얻습니다.
3단계: 매개변수 업데이트
그래디언트 정보를 사용하여 다음과 같이 x 값을 업데이트합니다. x = x₀ – α * f'(x₀), 여기서 α(알파)는 학습 속도를 나타냅니다.
학습률은 업데이트 프로세스에서 각 단계의 크기를 결정하는 하이퍼파라미터입니다. 학습 속도가 느리면 학습 속도가 느려질 수 있으므로 적절한 학습 속도를 설정하는 것이 중요합니다. 연산 최소값에 도달하기 위해 너무 많은 반복을 수행합니다.
반면 학습률이 높으면 알고리즘이 바운스되거나 수렴되지 않을 수 있습니다. 이 예를 위해 학습률 α = 0.1이라고 가정합니다.
4단계: 반복
x의 업데이트된 값을 얻은 후 미리 결정된 반복 횟수 동안 또는 x의 변화가 최소가 될 때까지 2단계와 3단계를 반복하여 수렴을 나타냅니다.
이 방법은 기울기를 계산하고 x 값을 업데이트하며 각 반복에서 절차를 계속하여 최소값에 가까워지도록 합니다.
5단계: 수렴
이 기술은 추가 업데이트가 함수의 값에 실질적으로 영향을 미치지 않는 지점까지 몇 번의 반복 후에 수렴됩니다.
우리의 경우 반복이 계속됨에 따라 x는 f(x) = x^0의 최소값인 2에 접근합니다. 수렴에 필요한 반복 횟수는 선택한 학습 속도 및 최적화되는 함수의 복잡성과 같은 요인에 의해 결정됩니다.
학습률 선택()
허용 가능한 학습 속도()를 선택하는 것은 경사 하강법 알고리즘의 효율성에 중요합니다. 앞서 언급한 바와 같이 학습률이 낮으면 수렴이 느려지고 학습률이 높으면 오버슈팅 및 수렴 실패가 발생할 수 있습니다.
알고리즘이 가능한 한 효율적으로 의도한 최소값으로 수렴되도록 하려면 적절한 균형을 찾는 것이 중요합니다.
학습 속도를 조정하는 것은 실제로 시행착오를 거치는 절차입니다. 연구자와 실무자는 학습 속도가 특정 문제에 대한 알고리즘의 수렴에 어떤 영향을 미치는지 확인하기 위해 일상적으로 다양한 학습 속도를 실험합니다.
비볼록 함수 처리
앞의 예제에는 간단한 볼록 함수가 있었지만 많은 실제 최적화 문제에는 많은 로컬 최소값이 있는 비볼록 함수가 포함됩니다.
이러한 경우 경사 하강법을 사용할 때 이 방법은 전역 최소값이 아닌 로컬 최소값으로 수렴할 수 있습니다.
이 문제를 극복하기 위해 몇 가지 고급 형태의 경사 하강법이 개발되었습니다. Stochastic Gradient Descent(SGD)는 각 반복에서 그래디언트를 계산하기 위해 데이터 포인트의 무작위 하위 집합(미니 배치라고 함)을 선택하여 무작위성을 도입하는 방법 중 하나입니다.
이 무작위 샘플링을 통해 알고리즘은 로컬 최소값을 피하고 함수 지형의 새로운 부분을 탐색하여 더 나은 최소값을 발견할 가능성을 높일 수 있습니다.
Adam(Adaptive Moment Estimation)은 RMSprop과 모멘텀의 이점을 모두 통합하는 적응형 학습 속도 최적화 접근 방식인 또 다른 두드러진 변형입니다.
Adam은 이전 그래디언트 정보를 기반으로 동적으로 각 매개변수에 대한 학습 속도를 수정하여 볼록하지 않은 함수에서 더 나은 수렴을 가져올 수 있습니다.
이러한 정교한 경사 하강 변형은 점점 더 복잡해지는 함수를 처리하는 데 효과적인 것으로 입증되었으며 비볼록 최적화 문제가 일반적인 기계 학습 및 딥 러닝의 표준 도구가 되었습니다.
6단계: 진행 상황 시각화
반복 프로세스를 더 잘 이해하기 위해 경사 하강법 알고리즘의 진행 상황을 살펴보겠습니다. 반복을 나타내는 x축과 함수 f(x)의 값을 나타내는 y축이 있는 그래프를 고려하십시오.
알고리즘이 반복됨에 따라 x의 값은 XNUMX에 가까워지고 결과적으로 함수 값은 각 단계에서 떨어집니다. 그래프에 표시하면 최소값에 도달하기 위한 알고리즘의 진행 상황을 반영하여 뚜렷한 감소 추세를 나타냅니다.
7단계: 학습률 미세 조정
학습률()은 알고리즘의 성능에 중요한 요소입니다. 실제로 이상적인 학습 속도를 결정하려면 종종 시행 착오가 필요합니다.
학습 속도 일정과 같은 일부 최적화 기술은 훈련 중에 학습 속도를 동적으로 변경할 수 있습니다. 더 높은 값에서 시작하여 알고리즘이 수렴에 가까워짐에 따라 점진적으로 감소합니다.
이 방법은 초기의 빠른 개발과 최적화 프로세스가 끝날 무렵의 안정성 사이의 균형을 맞추는 데 도움이 됩니다.
또 다른 예: 이차 함수 최소화
경사 하강법을 더 잘 이해하기 위해 다른 예를 살펴보겠습니다.
5차원 2차 함수 g(x) = (x – 5)^XNUMX를 고려하십시오. x = XNUMX에서 이 함수도 마찬가지로 최소값을 갖습니다. 이 최소값을 찾기 위해 경사 하강법을 적용합니다.
1. 초기화: 시작점으로 x0 = 8부터 시작하겠습니다.
2. g(x)의 기울기를 계산합니다: g'(x) = 2(x – 5). x0 = 8로 대체하면 x0에서의 기울기는 2 * (8 – 5) = 6입니다.
3. 학습률 = 0.2를 사용하여 다음과 같이 x를 업데이트합니다. x = x₀ – α * g'(x₀) = 8 – 0.2 * 6 = 6.8.
4. 반복: 수렴에 도달할 때까지 필요한 만큼 2단계와 3단계를 반복합니다. 각 사이클은 x가 g(x) = (x – 5)5의 최소값인 2에 가까워집니다.
5. 수렴: 이 방법은 결국 g(x) = (x – 5)5의 최소값인 x = 2로 수렴합니다.
학습률 비교
새로운 예에서 α = 0.1, α = 0.2 및 α = 0.5와 같이 서로 다른 학습 속도에 대한 경사 하강법의 수렴 속도를 비교해 봅시다. 학습률이 낮을수록(예: = 0.1) 수렴 시간은 길어지지만 최소값은 더 정확해집니다.
더 높은 학습 속도(예: = 0.5)는 더 빨리 수렴하지만 최소값에 대해 오버슈트하거나 진동하여 정확도가 떨어질 수 있습니다.
비볼록 함수 처리의 다중 모드 예
볼록하지 않은 함수인 h(x) = sin(x) + 0.5x를 고려하십시오.
이 함수에는 여러 개의 로컬 최소값과 최대값이 있습니다. 시작 위치와 학습률에 따라 표준 경사 하강법을 사용하여 로컬 최소값으로 수렴할 수 있습니다.
Adam 또는 확률적 경사하강법(SGD)과 같은 고급 최적화 기술을 사용하여 이 문제를 해결할 수 있습니다. 이러한 방법은 적응형 학습 속도 또는 무작위 샘플링을 사용하여 함수 환경의 여러 영역을 탐색하여 더 나은 최소값을 달성할 가능성을 높입니다.
결론
경사 하강 알고리즘은 광범위한 산업에서 널리 사용되는 강력한 최적화 도구입니다. 그래디언트의 방향에 따라 매개변수를 반복적으로 업데이트하여 함수의 최저(또는 최대)를 발견합니다.
알고리즘의 반복적 특성으로 인해 고차원 공간과 복잡한 기능을 처리할 수 있으므로 기계 학습 및 데이터 처리에 없어서는 안 될 요소입니다.
경사하강법은 학습률을 신중하게 선택하고 확률적 경사하강법 및 Adam과 같은 고급 변형을 적용함으로써 현실 세계의 어려움을 쉽게 해결할 수 있으며 기술 및 데이터 기반 의사 결정의 성장에 크게 기여할 수 있습니다.
댓글을 남겨주세요.