Біз функцияның минималды немесе максимумын анықтау қажет болатын көптеген нақты жағдайларда оңтайландыру мәселелеріне тап боламыз.
Функцияны жүйенің математикалық көрінісі ретінде қарастырыңыз және оның минимумын немесе максимумын анықтау машиналық оқыту, инженерия, қаржы және т.б. сияқты әртүрлі қолданбалар үшін маңызды болуы мүмкін.
Төбелері мен аңғарлары бар ландшафтты қарастырайық және біздің мақсатымыз - межелі жерге мүмкіндігінше тез жету үшін ең төменгі нүктені (минималды) табу.
Осындай оңтайландыру мәселелерін шешу үшін градиентті түсіру алгоритмдерін жиі қолданамыз. Бұл алгоритмдер ең тік түсу (теріс градиент) бағытында қадамдар жасау арқылы функцияны азайтуға арналған итеративті оңтайландыру әдістері болып табылады.
Градиент функцияның ең күрт өсуімен бағытты көрсетеді, ал қарама-қарсы бағытта жүру бізді минимумға әкеледі.
Градиентті түсіру алгоритмі дегеніміз не?
Градиенттің төмендеуі - функцияның минимумын (немесе максимумын) анықтауға арналған танымал итеративті оңтайландыру тәсілі.
Бұл бірнеше салаларда, соның ішінде маңызды құрал машина оқыту, терең оқыту, жасанды интеллект, инженерия және қаржы.
Алгоритмнің негізгі принципі оның функция мәнінің ең күрт өсу бағытын көрсететін градиентті пайдалануға негізделген.
Алгоритм градиент ретінде қарама-қарсы бағытта бірнеше рет қадамдар жасау арқылы функцияның пейзажын минимумға қарай тиімді шарлайды, конвергенцияға дейін шешімді итеративті түрде нақтылайды.
Неліктен біз градиентті түсіру алгоритмдерін пайдаланамыз?
Жаңадан бастағандар үшін олар үлкен өлшемді кеңістіктер мен күрделі функцияларды қоса алғанда, әртүрлі оңтайландыру мәселелерін шешу үшін пайдаланылуы мүмкін.
Екіншіден, олар оңтайлы шешімдерді тез таба алады, әсіресе аналитикалық шешім қол жетімсіз болғанда немесе есептеу қымбат болғанда.
Градиентті түсіру әдістері жоғары масштабталады және үлкен деректер жиынын сәтті өңдей алады.
Нәтижесінде олар кеңінен қолданылады машинаны оқыту алгоритмдері нейрондық желілерді деректерден үйренуге және болжау қателерін азайту үшін олардың параметрлерін өзгертуге үйрету сияқты.
Градиенттің төмендеу қадамдарының егжей-тегжейлі мысалы
Градиент түсіру техникасын жақсырақ түсіну үшін толығырақ мысалды қарастырайық.
Минимумы (2) болатын негізгі параболалық қисық түзетін f(x) = x2 0,0D функциясын қарастырайық. Бұл минималды нүктені анықтау үшін градиентті төмендету алгоритмі пайдаланылады.
1-қадам: инициализация
Градиенттің төмендеуі алгоритмі x0 ретінде көрсетілген x айнымалысының мәнін инициализациялаудан басталады.
Бастапқы мән алгоритмнің өнімділігіне айтарлықтай әсер етуі мүмкін.
Кездейсоқ инициализациялау немесе мәселе туралы алдын ала білімді қолдану екі кең таралған әдіс болып табылады. Біздің істің басында x₀ = 3 деп есептейік.
2-қадам: Градиентті есептеңіз
f(x) функциясының қазіргі x₀ орнындағы градиенті. содан кейін есептеу керек.
Градиент сол нақты позициядағы функцияның көлбеуін немесе өзгеру жылдамдығын көрсетеді.
f'(x) = 2x мәнін беретін f(x) = x2 функциясы үшін х-қа қатысты туындыны есептейміз. Градиентті есептеуде x₀ = 0 орнына қою арқылы x2 нүктесіндегі градиентті 3 * 6 = 3 ретінде аламыз.
3-қадам: Параметрлерді жаңарту
Градиент ақпаратын пайдалана отырып, х мәнін келесідей жаңартамыз: x = x₀ – α * f'(x₀), мұндағы α (альфа) оқу жылдамдығын білдіреді.
Оқыту жылдамдығы - бұл жаңарту процесінің әрбір қадамының өлшемін анықтайтын гиперпараметр. Сәйкес оқу жылдамдығын орнату өте маңызды, өйткені баяу оқу жылдамдығы соқтыруы мүмкін алгоритм минимумға жету үшін тым көп қайталау қажет.
Жоғары оқу жылдамдығы, керісінше, алгоритмнің серпілуіне немесе біріктірілмеуіне әкелуі мүмкін. Осы мысал үшін α = 0.1 оқу жылдамдығын алайық.
4-қадам: Қайталау
Жаңартылған x мәнін алғаннан кейін біз 2 және 3-қадамдарды алдын ала анықталған итерациялар саны үшін немесе x өзгерісі ең аз болғанша қайталаймыз, бұл конвергенцияны көрсетеді.
Әдіс градиентті есептейді, x мәнін жаңартады және әрбір итерацияда процедураны жалғастырып, оның минимумға жақындауына мүмкіндік береді.
5-қадам: конвергенция
Техника бірнеше итерациядан кейін одан әрі жаңартулар функция мәніне айтарлықтай әсер етпейтін нүктеге жақындайды.
Біздің жағдайда, итерациялар жалғасуда, x 0-ге жақындайды, бұл f(x) = x^2-тің минималды мәні. Конвергенцияға қажетті итерациялар саны таңдалған оқу жылдамдығы және оңтайландырылатын функцияның күрделілігі сияқты факторлармен анықталады.
Оқу жылдамдығын таңдау ()
Қолайлы оқу жылдамдығын () таңдау градиентті төмендету алгоритмінің тиімділігі үшін өте маңызды. Бұрын айтылғандай, төмен оқу жылдамдығы баяу конвергенцияны тудыруы мүмкін, ал жоғары оқу жылдамдығы шектен асып кетуді және конвергенцияны тудыруы мүмкін.
Тиісті тепе-теңдікті табу алгоритмнің мүмкіндігінше тиімді түрде жоспарланған минимумға жақындауын қамтамасыз ету үшін өте маңызды.
Оқыту жылдамдығын реттеу тәжірибеде жиі сынақ және қателік процедурасы болып табылады. Зерттеушілер мен практиктер алгоритмнің конвергенцияға олардың белгілі бір қиындыққа қалай әсер ететінін көру үшін әртүрлі оқу жылдамдығымен үнемі тәжірибе жасайды.
Дөңес емес функцияларды өңдеу
Алдыңғы мысалда қарапайым дөңес функция болғанымен, көптеген нақты әлемдегі оңтайландыру мәселелері көптеген жергілікті минимумдары бар дөңес емес функцияларды қамтиды.
Мұндай жағдайларда градиенттің түсуін пайдаланған кезде әдіс жаһандық минимумға емес, жергілікті минимумға жақындай алады.
Бұл мәселені шешу үшін градиентті түсірудің бірнеше жетілдірілген түрлері әзірленді. Стохастикалық градиентті түсіру (SGD) - әрбір иерациядағы градиентті есептеу үшін деректер нүктелерінің кездейсоқ жиынын (шағын топтама ретінде белгілі) таңдау арқылы кездейсоқтықты енгізетін осындай әдістердің бірі.
Бұл кездейсоқ іріктеу алгоритмге жергілікті минимумдарды болдырмауға және функция жерінің жаңа бөліктерін зерттеуге мүмкіндік береді, бұл жақсырақ минимумды табу мүмкіндігін арттырады.
Adam (Adaptive Moment Estimation) тағы бір көрнекті вариация болып табылады, ол RMSprop және импульстің артықшылықтарын біріктіретін бейімделген оқу жылдамдығын оңтайландыру тәсілі болып табылады.
Адам алдыңғы градиент ақпаратына негізделген әрбір параметр үшін оқу жылдамдығын динамикалық түрде өзгертеді, бұл дөңес емес функцияларда жақсы жинақтылыққа әкелуі мүмкін.
Бұл күрделі градиенттік төмендеу нұсқалары барған сайын күрделі функцияларды өңдеуде тиімді екенін дәлелдеді және дөңес емес оңтайландыру мәселелері жиі кездесетін машиналық оқыту мен терең оқытудағы стандартты құралдарға айналды.
6-қадам: Прогрессіңізді визуализациялаңыз
Оның итерациялық процесін жақсырақ түсіну үшін градиентті төмендету алгоритмінің орындалу барысын көрейік. Итерацияларды білдіретін х осі және f(x) функциясының мәнін көрсететін у осі бар графикті қарастырайық.
Алгоритм қайталанатын кезде x мәні нөлге жақындайды және нәтижесінде әрбір қадам сайын функция мәні төмендейді. Графикте сызылған кезде бұл алгоритмнің минимумға жету жолындағы ілгерілеуін көрсететін айқын төмендеу тенденциясын көрсетеді.
7-қадам: Оқу жылдамдығын дәл реттеу
Оқу жылдамдығы () алгоритм өнімділігінің маңызды факторы болып табылады. Тәжірибеде оқудың мінсіз жылдамдығын анықтау жиі сынақ пен қатені қажет етеді.
Оқыту жылдамдығының кестелері сияқты кейбір оңтайландыру әдістері оқыту кезінде жоғары мәннен бастап, алгоритм конвергенцияға жақындаған сайын оны біртіндеп төмендете отырып, оқу жылдамдығын динамикалық түрде өзгерте алады.
Бұл әдіс оңтайландыру процесінің басында қарқынды даму мен аяғына жақын тұрақтылық арасындағы тепе-теңдікті сақтауға көмектеседі.
Басқа мысал: Квадраттық функцияны кішірейту
Градиенттің түсуін жақсырақ түсіну үшін тағы бір мысалды қарастырайық.
g(x) = (x – 5)^2 екі өлшемді квадраттық функцияны қарастырайық. x = 5 кезінде бұл функция да минимумға ие. Бұл минимумды табу үшін градиентті түсіруді қолдануымыз керек.
1. Инициализация: Бастапқы нүкте ретінде x0 = 8-ден бастайық.
2. g(x) градиентін есептеңдер: g'(x) = 2(x – 5). x0 = 8 орнына қойғанда, x0 нүктесіндегі градиент 2 * (8 – 5) = 6 болады.
3. Оқу жылдамдығы ретінде = 0.2 болғанда, x мәнін келесідей жаңартамыз: x = x₀ – α * g'(x₀) = 8 – 0.2 * 6 = 6.8.
4. Қайталау: 2 және 3-қадамдарды конвергенцияға жеткенше қажетінше қайталаймыз. Әрбір цикл x-ті 5-ке жақындатады, g(x) = (x – 5)2 ең аз мәні.
5. Жинақтау: Әдіс ақырында g(x) = (x – 5)5 минималды мәні болып табылатын x = 2-ке жинақталады.
Оқу жылдамдығын салыстыру
Жаңа мысалда α = 0.1, α = 0.2 және α = 0.5 деп айталық, әртүрлі оқу жылдамдықтары үшін градиенттің төмендеуінің конвергенция жылдамдығын салыстырайық. Төменгі оқу жылдамдығы (мысалы, = 0.1) конвергенцияның ұзағырақ, бірақ дәлірек минимумға әкелетінін көреміз.
Жоғары оқу жылдамдығы (мысалы, = 0.5) тезірек жинақталады, бірақ минимумнан асып кетуі немесе ауытқуы мүмкін, нәтижесінде дәлдік нашарлайды.
Дөңес емес функцияларды өңдеудің мультимодальды мысалы
h(x) = sin(x) + 0.5x, дөңес емес функцияны қарастырайық.
Бұл функция үшін бірнеше жергілікті минимумдар мен максимумдар бар. Бастапқы позицияға және оқу жылдамдығына байланысты стандартты градиент түсіру арқылы кез келген жергілікті минимумға жақындай аламыз.
Біз мұны Адам немесе стохастикалық градиент түсіру (SGD) сияқты жетілдірілген оңтайландыру әдістерін қолдану арқылы шеше аламыз. Бұл әдістер функция ландшафтының әртүрлі аймақтарын зерттеу үшін бейімделген оқыту жылдамдығын немесе кездейсоқ іріктеуді пайдаланады, бұл жақсырақ минимумға жету ықтималдығын арттырады.
қорытынды
Градиентті түсіру алгоритмдері өнеркәсіптің кең ауқымында кеңінен қолданылатын қуатты оңтайландыру құралдары болып табылады. Олар градиент бағытына негізделген параметрлерді итеративті жаңарту арқылы функцияның ең төменгісін (немесе максимумын) ашады.
Алгоритмнің итеративті сипатына байланысты ол үлкен өлшемді кеңістіктер мен күрделі функцияларды өңдей алады, бұл оны машиналық оқытуда және деректерді өңдеуде таптырмас етеді.
Градиенттің түсуі нақты әлемдегі қиындықтарды оңай жеңе алады және оқыту жылдамдығын мұқият таңдау және стохастикалық градиенттік түсу және Адам сияқты жетілдірілген нұсқаларды қолдану арқылы технологияның өсуіне және деректерге негізделген шешім қабылдауға үлкен үлес қоса алады.
пікір қалдыру