Kami menghadapi masalah pengoptimalan dalam banyak situasi dunia nyata di mana kami perlu mengidentifikasi minimum atau maksimum suatu fungsi.
Pertimbangkan suatu fungsi sebagai representasi matematis dari suatu sistem, dan menentukan minimum atau maksimumnya dapat menjadi penting untuk berbagai aplikasi seperti pembelajaran mesin, teknik, keuangan, dan lainnya.
Pertimbangkan lanskap dengan perbukitan dan lembah, dan tujuan kami adalah menemukan titik terendah (minimum) untuk mencapai tujuan kami secepat mungkin.
Kami sering menggunakan algoritme penurunan gradien untuk menyelesaikan tantangan pengoptimalan tersebut. Algoritma ini merupakan metode optimasi iteratif untuk meminimumkan suatu fungsi dengan mengambil langkah-langkah ke arah penurunan paling curam (gradien negatif).
Gradien mencerminkan arah dengan peningkatan fungsi yang paling tajam, dan bergerak ke arah yang berlawanan membawa kita ke minimum.
Apa sebenarnya Algoritma Keturunan Gradien itu?
Turunan gradien adalah pendekatan optimalisasi iteratif yang populer untuk menentukan minimum (atau maksimum) suatu fungsi.
Ini adalah alat penting di beberapa bidang, termasuk Mesin belajar, pembelajaran mendalam, kecerdasan buatan, teknik, dan keuangan.
Prinsip dasar algoritme didasarkan pada penggunaan gradien, yang menampilkan arah peningkatan nilai fungsi yang paling tajam.
Algoritme secara efisien menavigasi lanskap fungsi menuju minimum dengan berulang kali mengambil langkah ke arah yang berlawanan sebagai gradien, menyempurnakan solusi secara iteratif hingga konvergensi.
Mengapa Kami Menggunakan Algoritma Penurunan Gradien?
Sebagai permulaan, mereka dapat digunakan untuk memecahkan berbagai macam masalah optimisasi, termasuk masalah ruang berdimensi tinggi dan fungsi kompleks.
Kedua, mereka dapat menemukan solusi optimal dengan cepat, terutama ketika solusi analitik tidak tersedia atau mahal secara komputasi.
Teknik penurunan gradien sangat terukur dan berhasil menangani kumpulan data yang sangat besar.
Akibatnya, mereka banyak digunakan di algoritma pembelajaran mesin seperti melatih jaringan saraf untuk belajar dari data dan memodifikasi parameternya untuk meminimalkan kesalahan prediksi.
Contoh Detil Langkah Penurunan Gradien
Mari kita lihat contoh yang lebih detail untuk lebih memahami teknik penurunan gradien.
Pertimbangkan fungsi 2D f(x) = x2, yang menghasilkan kurva parabola dasar dengan minimum di (0,0). Algoritma penurunan gradien akan digunakan untuk menentukan titik minimal ini.
Langkah 1: Inisialisasi
Algoritma penurunan gradien dimulai dengan menginisialisasi nilai variabel x, direpresentasikan sebagai x0.
Nilai awal dapat berdampak besar pada performa algoritme.
Inisialisasi acak atau menggunakan pengetahuan sebelumnya tentang masalah adalah dua teknik umum. Asumsikan bahwa x₀ = 3 pada awal kasus kita.
Langkah 2: Hitung Gradien
Gradien dari fungsi f(x) pada posisi sekarang x₀. kemudian harus dihitung.
Gradien menunjukkan kemiringan atau tingkat perubahan fungsi pada posisi tertentu.
Kita menghitung turunan mengenai x untuk fungsi f(x) = x2, yang menghasilkan f'(x) = 2x. Kita mendapatkan gradien pada x0 sebagai 2 * 3 = 6 dengan mengganti x₀ = 3 ke dalam perhitungan gradien.
Langkah 3: Perbarui Parameter
Dengan menggunakan informasi gradien, kami memperbarui nilai x sebagai berikut: x = x₀ – α * f'(x₀), di mana α (alpha) menunjukkan kecepatan pembelajaran.
Tingkat pembelajaran adalah hyperparameter yang menentukan ukuran setiap langkah dalam proses pembaruan. Menetapkan kecepatan pembelajaran yang tepat sangat penting karena kecepatan pembelajaran yang lambat dapat menyebabkan algoritma untuk mengambil terlalu banyak pengulangan untuk mencapai minimum.
Tingkat pembelajaran yang tinggi, di sisi lain, dapat mengakibatkan algoritme memantul atau gagal menyatu. Mari kita asumsikan laju pembelajaran α = 0.1 demi contoh ini.
Langkah 4: Ulangi
Setelah kita memiliki nilai x yang diperbarui, kita ulangi Langkah 2 dan 3 untuk sejumlah iterasi yang telah ditentukan atau hingga perubahan x menjadi minimal, yang menunjukkan konvergensi.
Metode ini menghitung gradien, memperbarui nilai x, dan melanjutkan prosedur pada setiap iterasi, memungkinkannya mendekati nilai minimum.
Langkah 5: Konvergensi
Teknik menyatu setelah beberapa iterasi ke titik di mana pembaruan lebih lanjut tidak berdampak material pada nilai fungsi.
Dalam kasus kita, seiring iterasi berlanjut, x akan mendekati 0, yang merupakan nilai minimum dari f(x) = x^2. Jumlah iterasi yang diperlukan untuk konvergensi ditentukan oleh faktor-faktor seperti laju pembelajaran yang dipilih dan kompleksitas fungsi yang dioptimalkan.
Memilih Tingkat Pembelajaran ()
Memilih kecepatan pembelajaran yang dapat diterima () sangat penting untuk keefektifan algoritme penurunan gradien. Seperti yang dinyatakan sebelumnya, learning rate yang rendah dapat menyebabkan konvergensi yang lambat, sedangkan learning rate yang tinggi dapat menyebabkan overshooting dan kegagalan konvergensi.
Menemukan keseimbangan yang tepat sangat penting untuk memastikan bahwa algoritme menyatu ke minimum yang diinginkan seefisien mungkin.
Menyetel laju pembelajaran sering kali merupakan prosedur coba-coba dalam praktiknya. Peneliti dan praktisi secara rutin bereksperimen dengan tingkat pembelajaran yang berbeda untuk melihat bagaimana pengaruhnya terhadap konvergensi algoritme pada tantangan khusus mereka.
Menangani Fungsi Non-Cembung
Sementara contoh sebelumnya memiliki fungsi cembung sederhana, banyak masalah pengoptimalan dunia nyata melibatkan fungsi non-cembung dengan banyak minima lokal.
Saat memanfaatkan penurunan gradien dalam kasus seperti itu, metode tersebut dapat menyatu ke minimum lokal daripada minimum global.
Beberapa bentuk lanjutan dari penurunan gradien telah dikembangkan untuk mengatasi masalah ini. Stochastic Gradient Descent (SGD) adalah salah satu metode yang memperkenalkan keacakan dengan memilih subset acak dari titik data (dikenal sebagai mini-batch) untuk menghitung gradien pada setiap iterasi.
Pengambilan sampel acak ini memungkinkan algoritme untuk menghindari minima lokal dan menjelajahi bagian baru dari medan fungsi, meningkatkan kemungkinan menemukan minimum yang lebih baik.
Adam (Estimasi Momen Adaptif) adalah variasi lain yang menonjol, yang merupakan pendekatan pengoptimalan kecepatan pembelajaran adaptif yang menggabungkan manfaat RMSprop dan momentum.
Adam memodifikasi kecepatan pembelajaran untuk setiap parameter secara dinamis berdasarkan informasi gradien sebelumnya, yang mungkin menghasilkan konvergensi yang lebih baik pada fungsi non-cembung.
Variasi penurunan gradien yang canggih ini telah terbukti efektif dalam menangani fungsi yang semakin kompleks dan telah menjadi alat standar dalam pembelajaran mesin dan pembelajaran mendalam, di mana masalah pengoptimalan non-cembung sering terjadi.
Langkah 6: Visualisasikan Kemajuan Anda
Mari kita lihat perkembangan algoritma penurunan gradien untuk mendapatkan pemahaman yang lebih baik tentang proses iteratifnya. Pertimbangkan grafik dengan sumbu x yang mewakili iterasi dan sumbu y yang mewakili nilai fungsi f(x).
Saat algoritme beriterasi, nilai x mendekati nol dan, akibatnya, nilai fungsi turun di setiap langkah. Ketika diplot pada grafik, ini akan menunjukkan tren penurunan yang berbeda, yang mencerminkan kemajuan algoritme menuju pencapaian minimum.
Langkah 7: Menyempurnakan Kecepatan Pembelajaran
Tingkat pembelajaran () merupakan faktor penting dalam kinerja algoritma. Dalam praktiknya, menentukan kecepatan pembelajaran yang ideal seringkali memerlukan trial and error.
Beberapa teknik pengoptimalan, seperti penjadwalan kecepatan pembelajaran, dapat mengubah kecepatan pembelajaran secara dinamis selama pelatihan, dimulai dengan nilai yang lebih tinggi dan secara bertahap menurunkannya saat algoritme mendekati konvergensi.
Metode ini membantu mencapai keseimbangan antara pengembangan cepat di awal dan stabilitas menjelang akhir proses pengoptimalan.
Contoh Lain: Meminimalkan Fungsi Kuadrat
Mari kita lihat contoh lain untuk mendapatkan pemahaman yang lebih baik tentang penurunan gradien.
Pertimbangkan fungsi kuadrat dua dimensi g(x) = (x – 5)^2. Pada x = 5, fungsi ini juga memiliki minimum. Untuk menemukan minimum ini, kami akan menerapkan penurunan gradien.
1. Inisialisasi: Mari kita mulai dengan x0 = 8 sebagai titik awal kita.
2. Hitung gradien dari g(x): g'(x) = 2(x – 5). Ketika kita mengganti x0 = 8, gradien di x0 adalah 2 * (8 – 5) = 6.
3. Dengan = 0.2 sebagai laju pemelajaran, kita perbarui x sebagai berikut: x = x₀ – α * g'(x₀) = 8 – 0.2 * 6 = 6.8.
4. Ulangi: Kami mengulangi langkah 2 dan 3 sebanyak yang diperlukan hingga konvergensi tercapai. Setiap siklus membawa x mendekati 5, nilai minimal dari g(x) = (x – 5)2.
5. Konvergensi: Metode pada akhirnya akan konvergen ke x = 5, yang merupakan nilai minimal dari g(x) = (x – 5)2.
Perbandingan Tarif Pembelajaran
Mari bandingkan kecepatan konvergensi penurunan gradien untuk kecepatan pembelajaran yang berbeda, katakanlah α = 0.1, α = 0.2, dan α = 0.5 dalam contoh baru kita. Kita dapat melihat bahwa learning rate yang lebih rendah (misalnya, = 0.1) akan menghasilkan konvergensi yang lebih lama tetapi lebih akurat.
Laju pembelajaran yang lebih tinggi (mis., = 0.5) akan menyatu lebih cepat tetapi dapat melampaui atau berosilasi pada nilai minimum, sehingga menghasilkan akurasi yang lebih buruk.
Contoh Multimodal Penanganan Fungsi Non-Cembung
Pertimbangkan h(x) = sin(x) + 0.5x, fungsi non-cembung.
Ada beberapa minima dan maxima lokal untuk fungsi ini. Bergantung pada posisi awal dan laju pembelajaran, kami dapat menyatu ke minima lokal mana pun menggunakan penurunan gradien standar.
Kami dapat menyelesaikan ini dengan menggunakan teknik pengoptimalan yang lebih canggih seperti Adam atau stochastic gradient descent (SGD). Metode ini menggunakan kecepatan pembelajaran adaptif atau pengambilan sampel acak untuk menjelajahi berbagai wilayah lanskap fungsi, meningkatkan kemungkinan mencapai minimum yang lebih baik.
Kesimpulan
Algoritme keturunan gradien adalah alat pengoptimalan yang kuat yang banyak digunakan di berbagai industri. Mereka menemukan fungsi terendah (atau maksimum) dengan memperbarui parameter secara iteratif berdasarkan arah gradien.
Karena sifat iteratif algoritme, algoritme ini dapat menangani ruang berdimensi tinggi dan fungsi kompleks, menjadikannya sangat diperlukan dalam pembelajaran mesin dan pemrosesan data.
Turunan gradien dapat dengan mudah mengatasi kesulitan dunia nyata dan berkontribusi besar pada pertumbuhan teknologi dan pengambilan keputusan berdasarkan data dengan memilih kecepatan pembelajaran secara hati-hati dan menerapkan variasi lanjutan seperti penurunan gradien stokastik dan Adam.
Tinggalkan Balasan