Мы сутыкаемся з праблемамі аптымізацыі ў многіх рэальных абставінах, калі нам трэба вызначыць мінімум або максімум функцыі.
Разглядайце функцыю як матэматычнае прадстаўленне сістэмы, і вызначэнне яе мінімуму або максімуму можа мець вырашальнае значэнне для розных прыкладанняў, такіх як машыннае навучанне, машынабудаванне, фінансы і інш.
Разгледзім пейзаж з пагоркамі і далінамі, і наша мэта - знайсці самую нізкую кропку (мінімум), каб як мага хутчэй дабрацца да месца прызначэння.
Мы часта выкарыстоўваем алгарытмы градыентнага спуску для вырашэння такіх задач аптымізацыі. Гэтыя алгарытмы з'яўляюцца метадамі ітэрацыйнай аптымізацыі для мінімізацыі функцыі шляхам выканання крокаў у напрамку найбольш крутога спуску (адмоўны градыент).
Градыент адлюстроўвае кірунак з найбольш крутым павелічэннем функцыі, а рух у процілеглым кірунку вядзе нас да мінімуму.
Што такое алгарытм градыентнага спуску?
Градыентны спуск - гэта папулярны ітэратыўны аптымізацыйны падыход для вызначэння мінімуму (ці максімуму) функцыі.
Гэта важны інструмент у некалькіх галінах, у тым ліку навучанне з дапамогай машыны, глыбокае навучанне, штучны інтэлект, машынабудаванне і фінансы.
Асноўны прынцып алгарытму заснаваны на выкарыстанні градыенту, які адлюстроўвае кірунак найбольш рэзкага росту значэння функцыі.
Алгарытм эфектыўна перамяшчае ландшафт функцыі да мінімуму, неаднаразова робячы крокі ў кірунку, процілеглым градыенту, ітэратыўна ўдасканальваючы рашэнне да канвергенцыі.
Чаму мы выкарыстоўваем алгарытмы градыентнага спуску?
Па-першае, яны могуць быць выкарыстаны для вырашэння шырокага спектру задач аптымізацыі, у тым ліку з прасторамі вялікай памернасці і складанымі функцыямі.
Па-другое, яны могуць хутка знаходзіць аптымальныя рашэнні, асабліва калі аналітычнае рашэнне недаступнае або патрабуе вылічэнняў.
Метады градыентнага спуску вельмі маштабуюцца і могуць паспяхова апрацоўваць велізарныя наборы даных.
У выніку яны шырока выкарыстоўваюцца ў алгарытмы машыннага навучання як навучанне нейронавых сетак вучыцца на дадзеных і змяняць іх параметры, каб мінімізаваць памылкі прагназавання.
Падрабязны прыклад градыентнага спуску
Давайце разгледзім больш падрабязны прыклад, каб лепш зразумець тэхніку градыентнага спуску.
Разгледзім двухмерную функцыю f(x) = x2, якая стварае базавую парабалічную крывую з мінімумам у (2). Для вызначэння гэтай мінімальнай кропкі будзе выкарыстоўвацца алгарытм градыентнага спуску.
Крок 1: Ініцыялізацыя
Алгарытм градыентнага спуску пачынаецца з ініцыялізацыі значэння зменнай x, прадстаўленай як x0.
Пачатковае значэнне можа мець значны ўплыў на прадукцыйнасць алгарытму.
Выпадковая ініцыялізацыя або выкарыстанне папярэдніх ведаў аб праблеме - два распаўсюджаныя метады. Выкажам здагадку, што x₀ = 3 у пачатку нашага выпадку.
Крок 2: Разлічыце градыент
Градыент функцыі f(x) у бягучым становішчы x₀. затым трэба разлічыць.
Градыент паказвае нахіл або хуткасць змены функцыі ў гэтай канкрэтнай пазіцыі.
Мы вылічаем вытворную адносна x для функцыі f(x) = x2, якая забяспечвае f'(x) = 2x. Мы атрымліваем градыент у x0 як 2 * 3 = 6, падставіўшы x₀ = 3 у разлік градыенту.
Крок 3: Абнавіце параметры
Выкарыстоўваючы інфармацыю пра градыент, мы абнаўляем значэнне x наступным чынам: x = x₀ – α * f'(x₀), дзе α (альфа) абазначае хуткасць навучання.
Хуткасць навучання - гэта гіперпараметр, які вызначае памер кожнага кроку ў працэсе абнаўлення. Усталяванне адпаведнай хуткасці навучання мае вырашальнае значэнне, паколькі павольная хуткасць навучання можа выклікаць алгарытм рабіць занадта шмат паўтораў, каб дасягнуць мінімуму.
Высокая хуткасць навучання, з іншага боку, можа прывесці да таго, што алгарытм падскочыць або не зможа зблізіцца. Для гэтага прыкладу выкажам здагадку, што хуткасць навучання роўная α = 0.1.
Крок 4: Ітэрацыя
Пасля таго, як мы атрымаем абноўленае значэнне x, мы паўтараем крокі 2 і 3 на працягу зададзенай колькасці ітэрацый або пакуль змяненне x не стане мінімальным, што паказвае на збліжэнне.
Метад разлічвае градыент, абнаўляе значэнне x і працягвае працэдуру на кожнай ітэрацыі, дазваляючы наблізіцца да мінімуму.
Крок 5: Канвергенцыя
Тэхніка сыходзіцца пасля некалькіх ітэрацый да кропкі, дзе далейшыя абнаўленні істотна не ўплываюць на значэнне функцыі.
У нашым выпадку па меры працягу ітэрацый х будзе набліжацца да 0, што з'яўляецца мінімальным значэннем f(x) = x^2. Колькасць ітэрацый, неабходных для канвергенцыі, вызначаецца такімі фактарамі, як абраная хуткасць навучання і складанасць аптымізаванай функцыі.
Выбар хуткасці навучання ()
Выбар прымальнай хуткасці навучання () мае вырашальнае значэнне для эфектыўнасці алгарытму градыентнага спуску. Як адзначалася раней, нізкая хуткасць навучання можа выклікаць павольную канвергенцыю, у той час як высокая хуткасць навучання можа прывесці да перавышэння і адмовы канвергенцыі.
Знаходжанне належнага балансу мае вырашальнае значэнне для таго, каб алгарытм збліжаўся да запланаванага мінімуму як мага больш эфектыўна.
Настройка хуткасці навучання на практыцы часта з'яўляецца працэдурай спроб і памылак. Даследчыкі і практыкі рэгулярна эксперыментуюць з рознымі хуткасцямі навучання, каб убачыць, як яны ўплываюць на канвергенцыю алгарытму для іх канкрэтнай задачы.
Апрацоўка нявыпуклых функцый
У той час як у папярэднім прыкладзе была простая выпуклая функцыя, многія праблемы аптымізацыі ў рэальным свеце звязаны з нявыпуклымі функцыямі з мноствам лакальных мінімумаў.
Пры выкарыстанні градыентнага спуску ў такіх выпадках метад можа сыходзіцца да лакальнага мінімуму, а не да глабальнага мінімуму.
Для вырашэння гэтай праблемы было распрацавана некалькі перадавых формаў градыентнага спуску. Стахастычны градыентны спуск (SGD) - адзін з такіх метадаў, які ўводзіць выпадковасць шляхам выбару выпадковага падмноства кропак даных (вядомых як міні-пакет) для вылічэння градыенту на кожнай ітэрацыі.
Гэтая выпадковая выбарка дазваляе алгарытму пазбягаць лакальных мінімумаў і даследаваць новыя ўчасткі мясцовасці функцыі, павялічваючы шанцы знайсці лепшы мінімум.
Адам (Адаптыўная ацэнка моманту) - яшчэ адна прыкметная разнавіднасць, якая з'яўляецца адаптыўным падыходам да аптымізацыі хуткасці навучання, які ўключае ў сябе перавагі як RMSprop, так і імпульсу.
Адам дынамічна змяняе хуткасць навучання для кожнага параметра на аснове папярэдняй інфармацыі аб градыенце, што можа прывесці да лепшай збежнасці нявыпуклых функцый.
Гэтыя складаныя варыяцыі градыентнага спуску даказалі сваю эфектыўнасць пры апрацоўцы ўсё больш складаных функцый і сталі стандартнымі інструментамі ў машынным і глыбокім навучанні, дзе часта сустракаюцца праблемы нявыпуклай аптымізацыі.
Крок 6: Візуалізуйце свой прагрэс
Давайце паглядзім прагрэс алгарытму градыентнага спуску, каб лепш зразумець яго ітэрацыйны працэс. Разгледзім графік з воссю х, якая прадстаўляе ітэрацыі, і воссю ординат, якая прадстаўляе значэнне функцыі f(x).
Калі алгарытм выконвае ітэрацыі, значэнне x набліжаецца да нуля, і, як вынік, значэнне функцыі падае з кожным крокам. Пры адлюстраванні на графіку гэта будзе дэманстраваць выразную тэндэнцыю да змяншэння, якая адлюстроўвае прагрэс алгарытму да дасягнення мінімуму.
Крок 7: Дакладная настройка хуткасці навучання
Хуткасць навучання () з'яўляецца важным фактарам у прадукцыйнасці алгарытму. На практыцы вызначэнне ідэальнай хуткасці навучання часта патрабуе метаду спроб і памылак.
Некаторыя метады аптымізацыі, такія як расклад хуткасці навучання, могуць дынамічна змяняць хуткасць навучання падчас навучання, пачынаючы з больш высокага значэння і паступова зніжаючы яго па меры набліжэння алгарытму да канвергенцыі.
Гэты метад дапамагае знайсці баланс паміж хуткім развіццём у пачатку і стабільнасцю ў канцы працэсу аптымізацыі.
Іншы прыклад: мінімізацыя квадратычнай функцыі
Давайце паглядзім на іншы прыклад, каб лепш зразумець градыентны спуск.
Разгледзім двухмерную квадратычную функцыю g(x) = (x – 5)^2. Пры x = 5 гэтая функцыя таксама мае мінімум. Каб знайсці гэты мінімум, прымянім градыентны спуск.
1. Ініцыялізацыя: пачнем з x0 = 8 у якасці адпраўной кропкі.
2. Вылічыце градыент g(x): g'(x) = 2(x – 5). Калі мы падстаўляем x0 = 8, градыент у x0 будзе 2 * (8 – 5) = 6.
3. Калі хуткасць навучання = 0.2, мы абнаўляем x наступным чынам: x = x₀ – α * g'(x₀) = 8 – 0.2 * 6 = 6.8.
4. Ітэрацыя: мы паўтараем крокі 2 і 3 столькі разоў, колькі неабходна, пакуль не будзе дасягнута канвергенцыя. Кожны цыкл набліжае х да 5, мінімальнага значэння g(x) = (x – 5)2.
5. Канвергенцыя: Метад у канчатковым выніку прывядзе да x = 5, што з'яўляецца мінімальным значэннем g(x) = (x – 5)2.
Параўнанне хуткасці навучання
Давайце параўнаем хуткасць канвергенцыі градыентнага спуску для розных хуткасцей навучання, скажам, α = 0.1, α = 0.2 і α = 0.5 у нашым новым прыкладзе. Мы бачым, што больш нізкая хуткасць навучання (напрыклад, = 0.1) прывядзе да больш працяглай канвергенцыі, але да больш дакладнага мінімуму.
Больш высокі каэфіцыент навучання (напрыклад, = 0.5) будзе збліжацца хутчэй, але можа перавышаць або вагацца каля мінімуму, што прыводзіць да пагаршэння дакладнасці.
Мультымадальны прыклад апрацоўкі невыпуклай функцыі
Разгледзім h(x) = sin(x) + 0.5x, нявыпуклую функцыю.
Ёсць некалькі лакальных мінімумаў і максімумаў для гэтай функцыі. У залежнасці ад зыходнай пазіцыі і хуткасці навучання, мы маглі б сысціся да любога з мясцовых мінімумаў, выкарыстоўваючы стандартны градыентны спуск.
Мы можам вырашыць гэта, выкарыстоўваючы больш дасканалыя метады аптымізацыі, такія як Адам або стахастычны градыентны спуск (SGD). Гэтыя метады выкарыстоўваюць адаптыўную хуткасць навучання або выпадковую выбарку для вывучэння розных рэгіёнаў ландшафту функцыі, павялічваючы верагоднасць дасягнення лепшага мінімуму.
заключэнне
Алгарытмы градыентнага спуску - гэта магутныя інструменты аптымізацыі, якія шырока выкарыстоўваюцца ў самых розных галінах. Яны выяўляюць найменшую (або максімальную) функцыю шляхам ітэратыўнага абнаўлення параметраў у залежнасці ад кірунку градыенту.
З-за ітэрацыйнай прыроды алгарытму ён можа апрацоўваць шматмерныя прасторы і складаныя функцыі, што робіць яго незаменным у машынным навучанні і апрацоўцы даных.
Градыентны спуск можа лёгка вырашаць рэальныя цяжкасці і ўносіць вялікі ўклад у развіццё тэхналогій і прыняцця рашэнняў на аснове дадзеных шляхам стараннага выбару хуткасці навучання і прымянення пашыраных варыянтаў, такіх як стахастычны градыентны спуск і Адам.
Пакінуць каментар