Kami menghadapi masalah pengoptimuman dalam banyak keadaan dunia sebenar di mana kami perlu mengenal pasti minimum atau maksimum fungsi.
Pertimbangkan fungsi sebagai perwakilan matematik sistem, dan menentukan minimum atau maksimumnya boleh menjadi kritikal untuk pelbagai aplikasi seperti pembelajaran mesin, kejuruteraan, kewangan dan lain-lain.
Pertimbangkan landskap dengan bukit dan lembah, dan matlamat kami adalah untuk mencari titik terendah (minimum) untuk sampai ke destinasi kami secepat mungkin.
Kami kerap menggunakan algoritma penurunan kecerunan untuk menyelesaikan cabaran pengoptimuman tersebut. Algoritma ini adalah kaedah pengoptimuman berulang untuk meminimumkan fungsi dengan mengambil langkah ke arah penurunan paling curam (kecerunan negatif).
Kecerunan mencerminkan arah dengan peningkatan paling curam dalam fungsi, dan perjalanan dalam arah yang bertentangan membawa kita ke tahap minimum.
Apakah sebenarnya Algoritma Keturunan Kecerunan?
Keturunan kecerunan ialah pendekatan pengoptimuman berulang yang popular untuk menentukan minimum (atau maksimum) fungsi.
Ia adalah alat kritikal dalam beberapa bidang, termasuk pembelajaran mesin, pembelajaran mendalam, kecerdasan buatan, kejuruteraan dan kewangan.
Prinsip asas algoritma adalah berdasarkan penggunaan kecerunannya, yang memaparkan arah peningkatan paling ketara dalam nilai fungsi.
Algoritma dengan cekap menavigasi landskap fungsi ke arah minimum dengan berulang kali mengambil langkah ke arah bertentangan sebagai kecerunan, menapis penyelesaian secara berulang sehingga penumpuan.
Mengapa Kami Menggunakan Algoritma Keturunan Kecerunan?
Sebagai permulaan, ia boleh digunakan untuk menyelesaikan pelbagai masalah pengoptimuman, termasuk yang mempunyai ruang dimensi tinggi dan fungsi yang kompleks.
Kedua, mereka boleh mencari penyelesaian optimum dengan cepat, terutamanya apabila penyelesaian analitikal tidak tersedia atau mahal dari segi pengiraan.
Teknik turunan kecerunan sangat berskala dan boleh berjaya mengendalikan set data yang besar.
Akibatnya, ia digunakan secara meluas dalam algoritma pembelajaran mesin seperti melatih rangkaian saraf untuk belajar daripada data dan mengubah suai parameternya untuk meminimumkan kesilapan ramalan.
Contoh Terperinci Langkah Penurunan Kecerunan
Mari kita lihat contoh yang lebih terperinci untuk mempunyai pemahaman yang lebih baik tentang teknik penurunan kecerunan.
Pertimbangkan fungsi 2D f(x) = x2, yang menghasilkan lengkung parabola asas dengan minimum pada (0,0). Algoritma penurunan kecerunan akan digunakan untuk menentukan titik minimum ini.
Langkah 1: Permulaan
Algoritma penurunan kecerunan bermula dengan memulakan nilai pembolehubah x, diwakili sebagai x0.
Nilai awal boleh memberi kesan yang besar pada prestasi algoritma.
Inisialisasi rawak atau menggunakan pengetahuan terdahulu tentang masalah adalah dua teknik biasa. Andaikan bahawa x₀ = 3 pada permulaan kes kami.
Langkah 2: Kira Kecerunan
Kecerunan fungsi f(x) pada kedudukan sekarang x₀. kemudiannya mesti dikira.
Kecerunan menunjukkan kecerunan atau kadar perubahan fungsi pada kedudukan tertentu itu.
Kami mengira derivatif mengenai x untuk fungsi f(x) = x2, yang menyediakan f'(x) = 2x. Kami mendapat kecerunan pada x0 sebagai 2 * 3 = 6 dengan menggantikan x₀ = 3 ke dalam pengiraan kecerunan.
Langkah 3: Kemas Kini Parameter
Menggunakan maklumat kecerunan, kami mengemas kini nilai x seperti berikut: x = x₀ – α * f'(x₀), dengan α (alfa) menandakan kadar pembelajaran.
Kadar pembelajaran ialah hiperparameter yang menentukan saiz setiap langkah dalam proses pengemaskinian. Menetapkan kadar pembelajaran yang sesuai adalah penting kerana kadar pembelajaran yang perlahan boleh menyebabkan algoritma untuk mengambil terlalu banyak ulangan untuk mencapai minimum.
Kadar pembelajaran yang tinggi, sebaliknya, boleh mengakibatkan algoritma melantun atau gagal menumpu. Mari kita andaikan kadar pembelajaran α = 0.1 demi contoh ini.
Langkah 4: Ulang
Selepas kami mempunyai nilai x yang dikemas kini, kami mengulangi Langkah 2 dan 3 untuk bilangan lelaran yang telah ditetapkan atau sehingga perubahan dalam x menjadi minimum, menunjukkan penumpuan.
Kaedah mengira kecerunan, mengemas kini nilai x dan meneruskan prosedur pada setiap lelaran, membolehkan ia mendekati minimum.
Langkah 5: Penumpuan
Teknik ini menumpu selepas beberapa lelaran ke titik di mana kemas kini selanjutnya tidak memberi kesan material kepada nilai fungsi.
Dalam kes kami, semasa lelaran diteruskan, x akan menghampiri 0, iaitu nilai minimum f(x) = x^2. Bilangan lelaran yang diperlukan untuk penumpuan ditentukan oleh faktor seperti kadar pembelajaran yang dipilih dan kerumitan fungsi yang sedang dioptimumkan.
Memilih Kadar Pembelajaran ()
Memilih kadar pembelajaran yang boleh diterima () adalah penting untuk keberkesanan algoritma penurunan kecerunan. Seperti yang dinyatakan sebelum ini, kadar pembelajaran yang rendah boleh menyebabkan penumpuan yang perlahan, manakala kadar pembelajaran yang tinggi boleh menyebabkan overshooting dan kegagalan untuk menumpu.
Mencari keseimbangan yang betul adalah penting untuk memastikan bahawa algoritma menumpu kepada minimum yang dimaksudkan dengan cekap yang mungkin.
Menala kadar pembelajaran selalunya merupakan prosedur percubaan dan kesilapan dalam amalan. Penyelidik dan pengamal secara rutin bereksperimen dengan kadar pembelajaran yang berbeza untuk melihat cara ia mempengaruhi penumpuan algoritma pada cabaran tertentu mereka.
Mengendalikan Fungsi Bukan Cembung
Walaupun contoh sebelumnya mempunyai fungsi cembung mudah, banyak isu pengoptimuman dunia sebenar melibatkan fungsi bukan cembung dengan banyak minima setempat.
Apabila menggunakan keturunan kecerunan dalam kes sedemikian, kaedah itu boleh menumpu kepada minimum tempatan dan bukannya minimum global.
Beberapa bentuk lanjutan keturunan kecerunan telah dibangunkan untuk mengatasi isu ini. Stochastic Gradient Descent (SGD) ialah salah satu kaedah yang memperkenalkan kerawak dengan memilih subset rawak titik data (dikenali sebagai kumpulan mini) untuk mengira kecerunan pada setiap lelaran.
Persampelan rawak ini membolehkan algoritma untuk mengelakkan minima setempat dan meneroka bahagian baharu rupa bumi fungsi, meningkatkan peluang untuk menemui minimum yang lebih baik.
Adam (Anggaran Momen Suaian) ialah satu lagi variasi yang menonjol, iaitu pendekatan pengoptimuman kadar pembelajaran adaptif yang menggabungkan faedah kedua-dua RMSprop dan momentum.
Adam mengubah suai kadar pembelajaran untuk setiap parameter secara dinamik berdasarkan maklumat kecerunan sebelumnya, yang mungkin menghasilkan penumpuan yang lebih baik pada fungsi bukan cembung.
Variasi turunan kecerunan yang canggih ini telah terbukti berkesan dalam mengendalikan fungsi yang semakin kompleks dan telah menjadi alat standard dalam pembelajaran mesin dan pembelajaran mendalam, di mana isu pengoptimuman bukan cembung adalah perkara biasa.
Langkah 6: Visualisasikan Kemajuan Anda
Mari lihat kemajuan algoritma penurunan kecerunan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih baik tentang proses lelarannya. Pertimbangkan graf dengan paksi-x mewakili lelaran dan paksi-y mewakili nilai fungsi f(x).
Apabila algoritma berulang, nilai x menghampiri sifar dan, akibatnya, nilai fungsi menurun dengan setiap langkah. Apabila diplot pada graf, ini akan menunjukkan arah aliran menurun yang berbeza, mencerminkan kemajuan algoritma ke arah mencapai tahap minimum.
Langkah 7: Memperhalus Kadar Pembelajaran
Kadar pembelajaran () adalah faktor penting dalam prestasi algoritma. Dalam amalan, menentukan kadar pembelajaran yang ideal selalunya memerlukan percubaan dan kesilapan.
Sesetengah teknik pengoptimuman, seperti jadual kadar pembelajaran, boleh mengubah kadar pembelajaran secara dinamik semasa latihan, bermula dengan nilai yang lebih tinggi dan secara beransur-ansur mengurangkannya apabila algoritma menghampiri penumpuan.
Kaedah ini membantu untuk mencapai keseimbangan antara pembangunan pesat pada permulaan dan kestabilan menjelang akhir proses pengoptimuman.
Contoh Lain: Meminimumkan Fungsi Kuadratik
Mari lihat contoh lain untuk mendapatkan pemahaman yang lebih baik tentang keturunan kecerunan.
Pertimbangkan fungsi kuadratik dua dimensi g(x) = (x – 5)^2. Pada x = 5, fungsi ini juga mempunyai minimum. Untuk mencari minimum ini, kami akan menggunakan keturunan kecerunan.
1. Permulaan: Mari kita mulakan dengan x0 = 8 sebagai titik permulaan kita.
2. Kira kecerunan bagi g(x): g'(x) = 2(x – 5). Apabila kita menggantikan x0 = 8, kecerunan pada x0 ialah 2 * (8 – 5) = 6.
3. Dengan = 0.2 sebagai kadar pembelajaran kami, kami mengemas kini x seperti berikut: x = x₀ – α * g'(x₀) = 8 – 0.2 * 6 = 6.8.
4. Lelaran: Kami mengulangi langkah 2 dan 3 seberapa banyak yang perlu sehingga penumpuan dicapai. Setiap kitaran mendekatkan x kepada 5, nilai minimum bagi g(x) = (x – 5)2.
5. Penumpuan: Kaedah akhirnya akan menumpu kepada x = 5, iaitu nilai minimum bagi g(x) = (x – 5)2.
Perbandingan Kadar Pembelajaran
Mari kita bandingkan kelajuan penumpuan keturunan kecerunan untuk kadar pembelajaran yang berbeza, katakan α = 0.1, α = 0.2 dan α = 0.5 dalam contoh baharu kami. Kita dapat melihat bahawa kadar pembelajaran yang lebih rendah (cth, = 0.1) akan menghasilkan penumpuan yang lebih lama tetapi minimum yang lebih tepat.
Kadar pembelajaran yang lebih tinggi (cth, = 0.5) akan menumpu lebih cepat tetapi boleh melampaui atau berayun tentang minimum, mengakibatkan ketepatan yang lebih lemah.
Contoh Multimodal Pengendalian Fungsi Bukan Cembung
Pertimbangkan h(x) = sin(x) + 0.5x, fungsi bukan cembung.
Terdapat beberapa minima dan maksimum tempatan untuk fungsi ini. Bergantung pada kedudukan permulaan dan kadar pembelajaran, kita boleh menumpu kepada mana-mana minima tempatan menggunakan keturunan kecerunan piawai.
Kita boleh menyelesaikannya dengan menggunakan teknik pengoptimuman yang lebih maju seperti Adam atau keturunan kecerunan stokastik (SGD). Kaedah ini menggunakan kadar pembelajaran adaptif atau pensampelan rawak untuk meneroka kawasan landskap fungsi yang berbeza, meningkatkan kemungkinan mencapai minimum yang lebih baik.
Kesimpulan
Algoritma penurunan kecerunan ialah alat pengoptimuman berkuasa yang digunakan secara meluas dalam pelbagai industri. Mereka menemui fungsi yang paling rendah (atau maksimum) dengan mengemas kini parameter secara berulang berdasarkan arah kecerunan.
Oleh kerana sifat lelaran algoritma, ia boleh mengendalikan ruang berdimensi tinggi dan fungsi yang kompleks, menjadikannya amat diperlukan dalam pembelajaran mesin dan pemprosesan data.
Keturunan kecerunan boleh menangani kesukaran dunia sebenar dengan mudah dan menyumbang kepada pertumbuhan teknologi dan pembuatan keputusan berasaskan data dengan memilih kadar pembelajaran dengan teliti dan menggunakan variasi lanjutan seperti keturunan kecerunan stokastik dan Adam.
Sila tinggalkan balasan anda