ما در بسیاری از شرایط دنیای واقعی که باید حداقل یا حداکثر یک تابع را شناسایی کنیم، با مشکلات بهینهسازی مواجه هستیم.
یک تابع را به عنوان یک نمایش ریاضی از یک سیستم در نظر بگیرید، و تعیین حداقل یا حداکثر آن می تواند برای کاربردهای مختلفی مانند یادگیری ماشین، مهندسی، امور مالی و موارد دیگر حیاتی باشد.
منظره ای با تپه ها و دره ها را در نظر بگیرید و هدف ما یافتن پایین ترین نقطه (حداقل) برای رسیدن به مقصد در سریع ترین زمان ممکن است.
ما اغلب از الگوریتم های نزولی گرادیان برای حل چنین چالش های بهینه سازی استفاده می کنیم. این الگوریتمها روشهای بهینهسازی تکراری برای به حداقل رساندن یک تابع با برداشتن گامهایی در جهت شیبدارترین نزول (شیب منفی) هستند.
گرادیان جهت را با تندترین افزایش در تابع منعکس می کند و حرکت در جهت مخالف ما را به حداقل می رساند.
الگوریتم Gradient Descent دقیقا چیست؟
گرادیان نزول یک رویکرد بهینهسازی تکراری محبوب برای تعیین حداقل (یا حداکثر) یک تابع است.
این یک ابزار حیاتی در چندین زمینه از جمله است فراگیری ماشین، یادگیری عمیق، هوش مصنوعی، مهندسی و مالی.
اصل اساسی الگوریتم مبتنی بر استفاده آن از گرادیان است که جهت شدیدترین افزایش در مقدار تابع را نشان می دهد.
این الگوریتم با برداشتن مکرر گامهایی در جهت مخالف به عنوان گرادیان، منظر تابع را به سمت حداقل هدایت میکند، و به طور مکرر راهحل را تا زمان همگرایی اصلاح میکند.
چرا از الگوریتم های گرادیان نزول استفاده می کنیم؟
برای شروع، می توان از آنها برای حل طیف وسیعی از مسائل بهینه سازی، از جمله مسائلی با فضاهای با ابعاد بالا و توابع پیچیده استفاده کرد.
دوم، آنها می توانند به سرعت راه حل های بهینه را پیدا کنند، به ویژه زمانی که راه حل تحلیلی در دسترس نیست یا از نظر محاسباتی گران است.
تکنیکهای نزول گرادیان بسیار مقیاسپذیر هستند و میتوانند با موفقیت مجموعه دادههای عظیمی را مدیریت کنند.
در نتیجه، آنها به طور گسترده ای استفاده می شوند الگوریتم های یادگیری ماشین مانند آموزش شبکه های عصبی برای یادگیری از داده ها و اصلاح پارامترهای آنها برای به حداقل رساندن اشتباهات پیش بینی.
یک مثال مفصل از مراحل نزول گرادیان
بیایید به مثال دقیق تری نگاه کنیم تا درک بهتری از تکنیک نزول گرادیان داشته باشیم.
تابع دو بعدی f(x) = x2 را در نظر بگیرید که یک منحنی سهموی پایه با حداقل (2) ایجاد می کند. الگوریتم نزول گرادیان برای تعیین این نقطه حداقل استفاده خواهد شد.
مرحله 1: مقداردهی اولیه
الگوریتم نزول گرادیان با مقداردهی اولیه متغیر x که به صورت x0 نمایش داده می شود، شروع می شود.
مقدار اولیه می تواند تأثیر قابل توجهی بر عملکرد الگوریتم داشته باشد.
مقداردهی اولیه تصادفی یا به کارگیری دانش قبلی از مسئله دو تکنیک رایج هستند. فرض کنید که x3 = XNUMX در ابتدای مورد ما.
مرحله 2: گرادیان را محاسبه کنید
گرادیان تابع f(x) در موقعیت فعلی xXNUMX. سپس باید محاسبه شود.
گرادیان شیب یا نرخ تغییر تابع در آن موقعیت خاص را نشان می دهد.
ما مشتق مربوط به x را برای تابع f(x) = x2 محاسبه می کنیم که f'(x) = 2x را فراهم می کند. با جایگزینی x0 = 2 در محاسبه گرادیان، گرادیان x3 را به صورت 6 * 3 = XNUMX می گیریم.
مرحله 3: به روز رسانی پارامترها
با استفاده از اطلاعات گرادیان، مقدار x را به صورت زیر به روز می کنیم: x = x₀ – α * f'(xXNUMX)، که در آن α (آلفا) نرخ یادگیری را نشان می دهد.
نرخ یادگیری یک فراپارامتر است که اندازه هر مرحله در فرآیند به روز رسانی را تعیین می کند. تنظیم یک نرخ یادگیری مناسب بسیار مهم است زیرا سرعت یادگیری آهسته می تواند باعث ایجاد این مشکل شود الگوریتم برای رسیدن به حداقل تعداد دفعات تکرار زیاد.
از سوی دیگر، نرخ یادگیری بالا میتواند منجر به پرش الگوریتم یا عدم همگرایی شود. به خاطر این مثال، نرخ یادگیری α = 0.1 را فرض کنیم.
مرحله 4: تکرار
پس از اینکه مقدار به روز شده x را بدست آوردیم، مراحل 2 و 3 را برای تعداد تکرارهای از پیش تعیین شده یا تا زمانی که تغییر در x به حداقل برسد، تکرار می کنیم که نشان دهنده همگرایی است.
این روش گرادیان را محاسبه میکند، مقدار x را بهروزرسانی میکند، و این روش را در هر تکرار ادامه میدهد و به آن اجازه میدهد به حداقل نزدیکتر شود.
مرحله 5: همگرایی
این تکنیک پس از چند بار تکرار به نقطهای همگرا میشود که بهروزرسانیهای بیشتر تأثیری اساسی بر ارزش تابع ندارد.
در مورد ما، با ادامه تکرارها، x به 0 نزدیک می شود، که حداقل مقدار f(x) = x^2 است. تعداد تکرارهای لازم برای همگرایی توسط عواملی مانند نرخ یادگیری انتخاب شده و پیچیدگی تابع بهینه شده تعیین می شود.
انتخاب نرخ یادگیری ()
انتخاب نرخ یادگیری قابل قبول () برای اثربخشی الگوریتم نزول گرادیان بسیار مهم است. همانطور که قبلاً گفته شد، نرخ یادگیری پایین میتواند باعث همگرایی آهسته شود، در حالی که نرخ یادگیری بالا میتواند باعث افزایش بیش از حد و عدم همگرایی شود.
یافتن تعادل مناسب برای حصول اطمینان از همگرایی الگوریتم به حداقل مورد نظر تا حد امکان بسیار مهم است.
تنظیم نرخ یادگیری اغلب در عمل یک روش آزمون و خطا است. محققان و متخصصان به طور معمول با نرخهای مختلف یادگیری آزمایش میکنند تا ببینند چگونه بر همگرایی الگوریتم در چالش خاص خود تأثیر میگذارند.
مدیریت توابع غیر محدب
در حالی که مثال قبلی یک تابع محدب ساده داشت، بسیاری از مسائل بهینهسازی در دنیای واقعی شامل توابع غیر محدب با حداقلهای محلی بسیار میشوند.
هنگام استفاده از نزول گرادیان در چنین مواردی، روش می تواند به یک حداقل محلی همگرا شود تا حداقل جهانی.
چندین شکل پیشرفته از نزول گرادیان برای غلبه بر این مسئله توسعه یافته است. نزول گرادیان تصادفی (SGD) یکی از این روشها است که تصادفی بودن را با انتخاب زیرمجموعه تصادفی از نقاط داده (معروف به یک دسته کوچک) برای محاسبه گرادیان در هر تکرار معرفی میکند.
این نمونهگیری تصادفی به الگوریتم اجازه میدهد تا از حداقلهای محلی اجتناب کند و بخشهای جدیدی از زمین تابع را کاوش کند و شانس کشف حداقل بهتر را افزایش دهد.
Adam (تخمین لحظه تطبیقی) یکی دیگر از تغییرات برجسته است که یک رویکرد بهینه سازی نرخ یادگیری تطبیقی است که مزایای RMSprop و Momentum را در بر می گیرد.
Adam نرخ یادگیری را برای هر پارامتر به صورت پویا بر اساس اطلاعات گرادیان قبلی تغییر می دهد، که ممکن است منجر به همگرایی بهتر در توابع غیر محدب شود.
این تغییرات شیب نزولی پیچیده ثابت کردهاند که در مدیریت توابع پیچیدهتر مؤثر هستند و به ابزارهای استاندارد در یادگیری ماشین و یادگیری عمیق تبدیل شدهاند، جایی که مسائل بهینهسازی غیر محدب رایج هستند.
مرحله 6: پیشرفت خود را تجسم کنید
بیایید پیشرفت الگوریتم نزول گرادیان را ببینیم تا درک بهتری از روند تکراری آن داشته باشیم. نموداری را در نظر بگیرید که یک محور x نشان دهنده تکرارها و یک محور y نشان دهنده مقدار تابع f(x) است.
با تکرار الگوریتم، مقدار x به صفر نزدیک می شود و در نتیجه با هر مرحله، مقدار تابع کاهش می یابد. هنگامی که بر روی یک نمودار رسم می شود، روند کاهشی مشخصی را نشان می دهد که منعکس کننده پیشرفت الگوریتم به سمت رسیدن به حداقل است.
مرحله 7: تنظیم دقیق نرخ یادگیری
نرخ یادگیری () عامل مهمی در عملکرد الگوریتم است. در عمل، تعیین نرخ یادگیری ایده آل اغلب نیاز به آزمون و خطا دارد.
برخی از تکنیکهای بهینهسازی، مانند زمانبندی نرخ یادگیری، میتوانند نرخ یادگیری را به صورت پویا در طول آموزش تغییر دهند، با مقدار بالاتر شروع و به تدریج با نزدیک شدن الگوریتم به همگرایی، آن را کاهش دهند.
این روش به ایجاد تعادل بین توسعه سریع در ابتدا و پایداری در پایان فرآیند بهینهسازی کمک میکند.
مثال دیگر: به حداقل رساندن یک تابع درجه دوم
بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم تا درک بهتری از نزول گرادیان داشته باشیم.
تابع درجه دوم دو بعدی g(x) = (x – 5)^2 را در نظر بگیرید. در x = 5، این تابع نیز دارای حداقل است. برای یافتن این حداقل، نزول گرادیان را اعمال خواهیم کرد.
1. مقداردهی اولیه: اجازه دهید با x0 = 8 به عنوان نقطه شروع شروع کنیم.
2. گرادیان g(x) را محاسبه کنید: g'(x) = 2(x – 5). وقتی x0 = 8 را جایگزین می کنیم، گرادیان در x0 2 * (8 – 5) = 6 است.
3. با = 0.2 به عنوان نرخ یادگیری ما، x را به صورت زیر به روز می کنیم: x = x₀ – α * g'(x8) = 0.2 – 6 * 6.8 = XNUMX.
4. تکرار: مراحل 2 و 3 را هر چند بار که لازم است تکرار می کنیم تا به همگرایی برسیم. هر چرخه x را به 5 نزدیک می کند، مقدار حداقل g(x) = (x – 5)2.
5. همگرایی: این روش در نهایت به x = 5 همگرا می شود که حداقل مقدار g(x) = (x – 5)2 است.
مقایسه نرخ یادگیری
بیایید سرعت همگرایی نزول گرادیان را برای نرخ های مختلف یادگیری مقایسه کنیم، مثلاً α = 0.1، α = 0.2، و α = 0.5 در مثال جدیدمان. میتوانیم ببینیم که نرخ یادگیری پایینتر (مثلاً 0.1 =) منجر به همگرایی طولانیتر اما حداقل دقیقتر میشود.
نرخ یادگیری بالاتر (به عنوان مثال، 0.5 =) سریعتر همگرا می شود، اما می تواند بیش از حد یا نوسان در مورد حداقل، و در نتیجه دقت ضعیف تر.
یک مثال چندوجهی از مدیریت توابع غیر محدب
h(x) = sin(x) + 0.5x، یک تابع غیر محدب را در نظر بگیرید.
چندین مینیمم و ماکزیمم محلی برای این تابع وجود دارد. بسته به موقعیت شروع و نرخ یادگیری، میتوانیم با استفاده از شیب نزول استاندارد به هر یک از حداقلهای محلی همگرا شویم.
ما میتوانیم این مشکل را با استفاده از تکنیکهای بهینهسازی پیشرفتهتر مانند Adam یا نزول گرادیان تصادفی (SGD) حل کنیم. این روشها از نرخهای یادگیری تطبیقی یا نمونهگیری تصادفی برای کشف مناطق مختلف چشمانداز تابع استفاده میکنند و احتمال دستیابی به حداقل بهتر را افزایش میدهند.
نتیجه
الگوریتم های گرادیان نزول ابزارهای بهینه سازی قدرتمندی هستند که به طور گسترده در طیف وسیعی از صنایع مورد استفاده قرار می گیرند. آنها با به روز رسانی مکرر پارامترها بر اساس جهت گرادیان، کمترین (یا حداکثر) یک تابع را کشف می کنند.
به دلیل ماهیت تکراری الگوریتم، میتواند فضاهای با ابعاد بالا و عملکردهای پیچیده را مدیریت کند، که آن را در یادگیری ماشین و پردازش داده ضروری میکند.
نزول گرادیان می تواند به راحتی با مشکلات دنیای واقعی مقابله کند و با انتخاب دقیق نرخ یادگیری و اعمال تغییرات پیشرفته مانند نزول گرادیان تصادفی و Adam، به رشد فناوری و تصمیم گیری مبتنی بر داده کمک زیادی کند.
پاسخ دهید